Swoosie é filho único do autor Margo e Frank Kurtz. Como seu pai era coronel da Força Aérea dos Estados Unidos, ela se mudou com frequência durante os anos de escola, morando em oito estados diferentes. Na University of Southern California, ela se formou em drama; mais tarde, ela frequentou a Academia de Música e Arte Dramática de Londres, recebeu a "coroa tripla" da Broadway (os prêmios Tony, Drama Desk e Outer Critics Circle) por sua interpretação de Gwen em Lanford Wilson em "The Fifth of July". Desde então, ela apareceu em muitos programas de TV e filmes, e recebeu várias indicações ao Emmy e ao Globo de Ouro e um Emmy por sua atuação na série de comédia de Carol Burnett, Carol & Company (1990).
