David é filho do Prêmio Nobel de Economia de 1972, Kenneth Arrow. Sua mãe Selma é psicoterapeuta. Ele começou a se interessar por atuar aos 12 anos, enquanto estudava na The Carroll School para crianças disléxicas. Seu primeiro papel foi Oliver no musical Oliver realizado na Tuffs University em Massachusetts. Seu primeiro emprego no teatro profissional foi aos 16 anos em uma sociedade de ações de verão em Concord MA. Um de seus colegas de elenco foi Steve Carell.
David recebeu seu treinamento formal de atuação na prestigiosa Bristol Old Vic Theatre School na Inglaterra, cujos outros ex-alunos incluem: Daniel Day Lewis, Jeremy Irons, Olivia Williams, Mark Strong e Miranda Richardson.
