Nascido em Los Angeles, filho de pais canadenses, em fevereiro de 1924, Campbell cresceu em Vancouver, onde desde muito jovem começou a escrever canções. Ele conheceu Elaine Leiterman em 1947, e eles se casaram em 1949. Embora ele tenha se formado em meteorologia pela University of British Columbia, ele começou sua carreira na Canadian Broadcasting Corporation em 1946 como compositor quando foi convidado a escrever uma música a semana para uma série chamada Summer Romance. Ele se juntou a eles em tempo integral em 1948. Em 1952, mudou-se para Toronto, onde dirigiu alguns dos primeiros programas de TV ao vivo do Canadá. Em 1955, ele escreveu seu primeiro musical para a televisão, Take to the Woods, estrelado por Robert Goulet com um livro de Eric Nicol e letras de Elaine Campbell. Mas foi em 1956 que, junto com sua esposa Elaine e o ator Don Harron, ele escreveu o show pelo qual será lembrado, Anne of Green Gables.
Campbell estabeleceu uma reputação por adaptar o balé para a televisão, ganhando dois prêmios Emmy - incluindo um em 1972 por A Bela Adormecida com Rudolph Nureyev. Walt Disney o contratou em 1966 para dirigir o longa-metragem Ballerina, filmado na Dinamarca e estrelado pela muito jovem Jenny Agutter. Mais tarde, ele disse: "Lembro-me de Walt Disney quando exibi nossos primeiros testes em Hollywood; me disseram para tomar cuidado com seus dedos. Eu fiz. Conforme as cenas se desenrolavam na tela, pude ver seus dedos, perfeitamente imóveis. Bom sinal. Ele amou. "
Em 1965, o novo Centro de Confederação para as Artes em Charlottetown, Ilha do Príncipe Eduardo encomendou uma versão teatral de Anne of Green Gables, dirigida e coreografada pelo falecido Alan Lund. Em 1969, o show foi exibido por nove meses no New (mais tarde Albery, agora Noel Coward) Theatre no West End de Londres, apresentado pelo expatriado canadense Bill Freedman. Foi apresentado várias vezes em Tóquio em uma versão em japonês, começando em 1980, e agora está em sua quadragésima temporada em Charlottetown.
Seus outros musicais incluem Turvey (1966) e The Wonder Of It All (1971 na televisão, 1980 no palco em Victoria, B.C.), ambos com livros de Don Harron e letras de Elaine Campbell.
Norman foi nomeado oficial da Ordem do Canadá em 1978.
