Nascido em Londres, Kosminsky estudou na Universidade de Oxford como químico principal. Ele passou muito do seu tempo na universidade no teatro, onde ele era um designer de iluminação para a Dramatic Society e onde ele finalmente produziu uma produção de sucesso de Twelfth Night, co-estrelando o seu colega Hugh Grant. A compositora e acompanhante da produção foi outra jovem estudante chamada Rachel Portman. Depois da escola, ele trabalhou na BBC como estagiário de pós-graduação antes de se tornar diretor de documentários.
Kosminsky, sua esposa Helen e duas filhas residem em Wiltshire, Inglaterra. "
