Nascido no Kentucky, Schramm frequentou a Western Kentucky University em Bowling Green, Kentucky, e se formou em inglês, ao mesmo tempo que se envolveu intensamente com o teatro. Por insistência de seu professor de atuação na faculdade, ele se candidatou e ganhou uma bolsa de estudos de quatro anos para a recém-formada escola de teatro da Juilliard em Nova York.
Durante o verão de 1988, Schramm viajou para a Califórnia para co-estrelar com Rebecca De Mornay em "Born Yesterday" no Pasadena Playhouse. Essa produção muito aclamada e popular trouxe Schramm à atenção de Hollywood, e ele tem trabalhado constantemente na televisão e no cinema desde então.
Schramm foi ator convidado em várias séries de televisão, incluindo Jake and the Fatman (1987), Wiseguy (1987), The Equalizer (1985), Miami Vice (1984) e Spenser: For Hire (1985). Ele também deu a voz para um dos personagens da série animada da Disney, Hércules (1998). Além disso, teve papéis principais em The Time of Your Life (1976) e no musical Cradle Will Rock (1999), ambos para a PBS.
